1. Коэффициент размножения в бесконечной размножающей среде, формула четырех сомножителей.

 

Рассмотрим поведение нейтронов в среде, в которой появление быстрых нейтронов обусловлено поглощением нейтронов предыдущего поколения, в общем, при любых энергиях. Процесс, связывающий исчезновение и появление нейтронов – деление тяжелых ядер (прежде всего  и ) при котором каждый нейтрон, вызывающий деление, заменяется двумя-тремя новыми. При этом связь процессов замедления и диффузии тепловых нейтронов приобретает новые качественные черты: скорость генерации начинающих замедляться нейтронов становится пропорциональной числу делений ядер.

Рассмотрим бесконечную размножающую гомогенную среду, состоящую из топлива и замедлителя, которая по своему составу и свойствам близка к среде активной зоны реактора на тепловых нейтронах. Для конкретности будем считать, что топливо представляет собой уран, обогащение которого изотопом  составляет несколько процентов, т.е. N₅ << N₈. пусть доля топлива в среде такова, что подавляющее число нейтронов успевает до поглощения приобрести тепловые энергии. Тогда можно пренебречь поглощением замедляющихся и быстрых нейтронов всеми ядрами, кроме радиационного захвата ядрами в области резонансов и поглощения ядрами  в области энергии быстрых нейтронов.

Выделим S₁ нейтронов первого поколения, образовавшихся при делении ядер  тепловыми нейтронами. Часть нейтронов деления имеет Е1,1 МэВ и может, следовательно, вызвать деление ядер . В результате число быстрых нейтронов увеличится в μ раз. Множитель μ, учитывающий вклад нейтронов делений  в общее число нейтронов, называется коэффициентом размножения на быстрых нейтронах.

Итак, начнут замедляться S₁μ нейтронов. В процессе замедления часть из них поглотиться и до тепловых энергий замедлиться S₁μφ нейтронов, где φ – вероятность избежать резонансного поглощения ядрами . Тепловые нейтроны поглощаются как топливом, так и замедлителем. Нас интересует число нейтронов, поглощаемое топливом. Поэтому вводится коэффициент Θ, который представляет собой отношение числа тепловых нейтронов, поглощенных в топливе, к полному числу поглощенных тепловых нейтронов. Таким образом, Θ есть вероятность для теплового нейтрона поглотиться в топливе, и называется коэффициентом использования тепловых нейтронов.

В итоге, число тепловых нейтронов, поглощенных топливом, равно S₁μφΘ. Часть этих нейтронов вызовет деление ядер , в результате чего образуются новые нейтроны деления (нейтроны второго поколения). Удобно ввести понятие  которое по определению равно отношению числа вторичных нейтронов деления к числу поглощенных в топливе первичных тепловых нейтронов, т.е. числу быстрых нейтронов, в среднем образующихся при поглощении в топливе одного теплового нейтрона. Тогда число нейтронов второго поколения S₂ = S₁μφΘ. Отношение числа нейтронов данного поколения к числу нейтронов предыдущего поколения в бесконечной однородной среде есть коэффициент размножения, т.е.

                                                                                                                    (1.1)

Формула (1.1) называется формулой четырех сомножителей. Однако это не единственное определение данного понятия. С учетом всего вышесказанного можно переписать формулу (1.1) в следующем виде:

                                                                   ,                                                           (1.2)

где ν_а ≡ η – число нейтронов деления, получающихся на один акт поглощения в . В среднем, грубо, на каждые 100 поглощений тепловых нейтронов  только 85 спровоцируют деление, остальные 15 поглощений тепловых нейтронов в  спровоцируют появление . На практике, ν_а для топлива с обогащением по          х₅ = 0,7% принимает значение, равное 1,32; для топлива с х₅ = 100% (чистый ), ν_а = 2,07.

ε есть коэффициент размножения на быстрых нейтронах [коэффициент μ в формуле (1.1)], учитывающий дополнительно получающиеся нейтроны деления  на быстрых нейтронах с энергией ≥ 1,1 МэВ; т.е. ε – отношение числа нейтронов деления, полученных на всех значениях энергий исходных, вызвавших деление, к числу нейтронов деления, полученных на тепловых нейтронах. На практике ε = 1,011,08 в зависимости от обогащения х₅ и соотношения концентраций замедлителя и топлива, с увеличением которых коэффициент размножения на быстрых нейтронах уменьшается.

φ идентичен по смыслу одноименному коэффициенту в формуле (1.1) и равен отношению числа замедляющихся нейтронов на выходе из резонансной области к числу замедляющихся нейтронов на входе в резонансную область. На практике φ = 0,70,9 в зависимости от состава активной зоны, так как с увеличением процентного содержания  в топливе вероятность избежать резонансного захвата ядрами  уменьшается.

Θ идентичен по смыслу одноименному коэффициенту в формуле (1.1); на практике всегда меньше единицы. Также необходимо иметь ввиду, что всегда ν_аΘ = const.

 

2. Оптимальное соотношение концентраций замедлителя и топлива.

 

Принципиальная возможность самоподдерживающейся цепной реакции деления в среде, состоящей из топлива и замедлителя, будет обеспечена, если К_∞ > 1, т.е. при условии

                                                                                                                                    (2.1)

Как было показано в п.1, величина ε мало отличается от единицы и данное условие можно переписать в виде

                                                                                                                                      (2.2)

В частности, для природного урана, ν_а = 1,32, значит, условием осуществления самоподдерживающейся цепной реакции деления будет неравенство φΘ ≥ 0,77.

Величины φ и Θ для топлива и замедлителя зависят от соотношения их количеств в размножающей среде. На рис.1 показан качественный характер зависимости φ, Θ и произведения φΘ от отношения числа атомов замедлителя к числу атомов топлива естественного урана в 1 см³ смеси. Так как с повышением концентрации топлива в смеси вероятность избежания резонансного захвата φ уменьшается, а коэффициент использования тепловых нейтронов Θ увеличивается, то имеется оптимальная величина отношения массы замедлителя к массе топлива, при которой произведение φΘ, а следовательно, и коэффициент размножения К_∞ достигает максимальных значений.

В табл.1 приведены оптимальные значения концентраций топлива и соответствующие им значения К_∞ для смесей природного урана с различными замедлителями. Из таблицы видно, что в однородной (гомогенной) смеси природного урана и замедлителя самоподдерживающаяся цепная реакция возможна лишь в случае использования в качестве замедлителя тяжелой воды. При использовании обогащенного топлива условия для осуществления цепной реакции улучшаются, и такая реакция становится возможной в смесях урана с другими замедлителями.

 

Таблица 1

 

Максимальные значения К_∞ в смесях естественного урана и замедлителя.

 

 

Рис.1. Изменение φ и Θ от отношения числа ядер замедлителя к числу ядер урана